quinta-feira, 21 de março de 2024

Desvendando o Mistério das Raízes: Método da Posição Falsa Implementado em Python, Sclab e Excel

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Para tirar o máximo de proveito do nosso conteúdo, tenha papel e caneta em mãos. Faça anotações dos principais pontos e, depois, formule pequenos parágrafos sobre o que tiver anotado. Em seguida, revise o texto, dessa vez, formulando perguntas para que você mesmo responda ao final. Por último, ensine o que aprendeu a alguém. Isso tornará seu processo de aprendizagem mais efetivo.

  1. Um exemplo de determinação de raízes de uma equação transcendente: Vamos considerar a equação transcendente ( ) = 2 = 0 para encontrar suas raízes.

  2. Como aplicar a fórmula: O método da posição falsa envolve a seleção de dois pontos iniciais e 1 , calculando ( 0 ) e ( 1 ) , e então ajustando esses pontos para se aproximar da raiz da equação.

  3. O que é o método: O método da posição falsa, também conhecido como método de interpolação linear, é uma técnica numérica para encontrar raízes de equações transcendentes. Ele combina os conceitos do método da bisseção com a interpolação linear para convergir rapidamente para a raiz desejada.

  4. Qual a história do surgimento desse método: O método da posição falsa tem suas origens na antiguidade, mas sua formulação moderna é frequentemente atribuída a Thomas Simpson, um matemático britânico do século XVIII.

  5. Usando o computador para aplicar o método:

    • Script em Scilab para implementar o método: Utilize as funções de interpolação linear do Scilab para calcular os novos pontos iterativos até alcançar a precisão desejada.
  6. function [root, iterations] = posicao_falsa(f, a, b, tol, max_iter)

    iterations = 0; fa = feval(f, a); fb = feval(f, b); while abs(b - a) > tol && iterations < max_iter c = (a * fb - b * fa) / (fb - fa); fc = feval(f, c); if fc * fb < 0 a = c; fa = fc; else b = c; fb = fc; end iterations = iterations + 1; end root = (a + b) / 2; endfunction // Exemplo de uso: f = @(x) exp(x) - 2 * x; a = 0; b = 2; tolerance = 1e-6; max_iterations = 100; [root, iterations] = posicao_falsa(f, a, b, tolerance, max_iterations); disp('Raiz aproximada: ' + string(root)); disp('Número de iterações: ' + string(iterations));

    • Código em Python para implementar o método: Escreva uma função em Python que realiza os cálculos iterativos necessários para aproximar a raiz da equação.
  def posicao_falsa(f, a, b, tol, max_iter):
 iterations = 0
fa = f(a)
 fb = f(b)
   while abs(b - a) > tol and iterations < max_iter:
        c = (a * fb - b * fa) / (fb - fa)
        fc = f(c)
        
        if fc * fb < 0:
            a = c
            fa = fc
        else:
            b = c
            fb = fc
        
        iterations += 1
    
    root = (a + b) / 2
    return root, iterations

# Exemplo de uso:
import math

def f(x):
    return math.exp(x) - 2 * x

a = 0
b = 2
tolerance = 1e-6
max_iterations = 100

root, iterations = posicao_falsa(f, a, b, tolerance, max_iterations)
print("Raiz aproximada:", root)
print("Número de iterações:", iterations)
 
Usando o MS-Excel para implementar o método: Crie uma planilha no Excel para inserir os valores iniciais e as fórmulas necessárias para atualizar os pontos iterativos até convergir para a raiz.

Veja um exemplo de como implementar o método da posição falsa usando o Microsoft Excel:

  1. 1. Primeiro, abra o Microsoft Excel e crie uma planilha.

  2. 2. Na primeira coluna, insira os números das iterações (por exemplo, de 1 a 100, dependendo do número máximo de iterações que você deseja permitir).

  3. 3. Na segunda coluna, insira os valores de 0.

  4. 4. Na terceira coluna, insira os valores de 1.

  5. 5. Na quarta coluna, insira os valores de (0).

  6. 6. Na quinta coluna, insira os valores de (1).

  7. 7. Na sexta coluna, insira os valores de , calculados como =0(1)1(0)(1)(0).

  8. 8. Na sétima coluna, insira os valores de (), calculados com base nos valores de da coluna anterior.

  9. 9. Na oitava coluna, insira uma fórmula para determinar se a raiz foi encontrada ou não. Por exemplo, você pode usar a função IF para verificar se o produto de () e (1) é menor que zero.

  10. 10. Repita as etapas 7 a 9 até que a diferença entre 0 e 1 seja menor que a tolerância especificada ou até atingir o número máximo de iterações.

Agora, compartilhe o que você aprendeu porque APRENDER É A NOSSA MELHOR HABILIDADE! Aprofundar nosso conhecimento em métodos numéricos nos capacita a resolver uma variedade de problemas complexos e aprimora nossa compreensão da matemática aplicada. Vamos continuar explorando e expandindo nossas habilidades para alcançar novos patamares de excelência! 📚💡

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* Publicação facilitada pelo ChatGPT da OpenIA (digitação a partir de direcionamento humano).

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